如何使用线性代数让你的杠铃文科生朋友气到脑淤血

一. 起源

Toyomu一天在被胜利点多又分散的俄罗斯逼到崩溃的时候,无聊刷知乎看到了以下的杠铃发言:

给你看一道数学题,找规律

2 4 ? ? 8

如果你做出来了,你再来告诉我这个规律讲不讲道理

讲道理,这个题目很讲道理。以下是讲道理环节

二. 当然的想当然

我们令 2 + 4 – λ = x1 ;4 + x1 – λ = x2; x1 + x2 – λ = 8;

显然,λ = 2,故有 x1 = 4,x2 = 6

所以想当然而言是 2 4 4 6 8

当然讲道理啊 an = an-1 + an-2 – 2而已。Fibonacci 的变式啊……

三,你以为是直觉,其实也是讲道理

对于 2 4 () () 8 ,有一个符合直觉的答案,2 4 6 7 8

这个符合直觉的答案出自童谣《 数鸭歌 》

门前大桥下,游过一群鸭,

快来快来数一数,二四六七八

这个答案有道理吗,一般的小朋友是觉得没有道理的,但是学习过点线性代数,甚至是…解方程组的小朋友就很容易知道了。

对每三个连续的数字进行研究:

2 + 4 + λ1 = 6;4 + 6 + λ2 = 7,6 + 7 + λ 3= 8.

这里就很容易发现,里面肯定是一个有规律的变化的隐藏参数在搞事情,那么这个参数要如何表示

因为这是三个式子,我们只需要让三个参数x1.x2.x3 满足

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这个式子有非零解,且任一系数均不为0,经过简单的变换我们得到系数矩阵A 和 等式右侧的向量 b

显然,若使条件成立,R(A) = 3,我们只需要写出任一R(A) = 3 且不含有0的矩阵A就可以解决问题了

这里使用Vandemonde 矩阵作为系数矩阵,我们令

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使用高斯消元法易得

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所以 2 4 6 7 8 的道理是

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四.小结

你以为是直觉完事,实际上还是有道理负重前行,切莫因为觉得理科要讲道理便开始杠铃,这在技术者关注度不如文艺工作人员的网络语境下还是很重要的

五.附录(omake)

为什么我使用了Fibonacci的写法,很简单,如果按照三的思路来直接成立,要写五个参数,和一个R(A) = 5的各元素不含 0 的矩阵,这对于刚刚打败绿色恶魔的Toyomu来说是不可原谅的

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